Aufgaben mit Lösungen zu Wurzeln (2023)

Eine Potenz mit einem Bruch als Exponent ist gleich einer Wurzel, deren Wurzelexponent der Nenner des Bruchs und der Exponent des Radikanden der Zähler ist.

Um die erste Aufgabe zu lösen, zerlegen wir zunächst die in Faktoren, führen die nötigen Schritte in Bezug auf den Radikanden durch und extrahieren die Faktoren

1

2

3

In diesem Fall wandeln wir den Exponenten, der eine exakte Dezimalzahl ist, in einen Bruch um

4

Der Exponent, der eine periodosche Dezimalzahl ist, wird in einen Bruch umgewandelt

Sobal der Exponent ein Bruch ist, können wir lösen

1

Der Exponent der Zahl zwei ist kleiner als der Wurzelexponent , weshalb sie unter der Wurzel stehen bleibt.

Der Exponent der Zahl ist gleich dem Wurzelexponent , weshalb die Zahl nicht unter der Wurzel bleibt.

Der Exponent der Zahl ist größer als der Wurzelexponent , weshalb dieser Exponent durch den Wurzelexponenten geteilt wird. Der Quotient , den wir dadurch erhalten, ist der Exponent des Faktors außerhalb des Radikanden, und der Rest ist der Exponent des Faktors innerhalb des Radikanden.

2

Die Exponenten sind größer als der Wurzelexponent, also werden diese Exponenten durch den Wurzelexponenten geteilt.

Jeder der erhaltenen Quotienten ist der Exponent des entsprechenden Faktors außerhalb des Radikanden, und jeder der erhaltenen Reste ist der Exponent des entsprechenden Faktors innerhalb des Radikanden.

1

Bevor wir mit der Lösung beginnen, sollten wir uns einige Eigenschaften von Wurzeln ins Gedächtnis rufen. Wir wissen, dass die Wurzel, die auf ein Produkt angewendet wird, das Produkt der Wurzeln ist

und dass der Wurzelexponent der Wurzel, wenn in die exponentielle Form umgewandelt wird, durch die Potenz der Basis geteilt wird

Wir wenden diese beiden Gesetze also an, wenn wir Ausdrücke, in denen Wurzeln vorkommen, vereinfachen möchten:

Dies wenden wir nun bei unserem Problem an:

Wir setzen unsere Zahlen ein und erhalten

2

Wir wenden unsere Formel an; der Wurzelexponent ist hier

Wir führen die nötigen Rechenschritte aus

1

Da die Wurzeln gleich sind, dürfen wir die Koeffizienten der Wurzeln addieren und subtrahieren:

2

Wir fassen die Koeffizienten der Wurzeln zusammen:

3

Wir zerlegen die Radikanden in Faktoren, extrahieren die Faktoren aus den Wurzeln (falls möglich) und multiplizieren sie mit dem Koeffizienten der entsprechenden Wurzel

4

Wir extrahieren die Faktoren aus den Wurzeln und multiplizieren sie mit dem Koeffizienten der entsprechenden Wurzel

Wir vereinfachen die Wurzeln. Bei der ersten Wurzel dividieren wir den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden durch , bei der zweiten durch und bei der dritten durch

Wir fassen die Koeffizienten der Wurzeln zusammen

1

2

3

4

1

Wir rationalisieren das zweite Glied, indem wir multiplizieren und durch die Quadratwurzel von dividieren

Wir klammern den gemeinsamen Faktor der Wurzel aus aus und fassen zusammen

2

Wir zerlegen die Wurzeln in Faktoren

Bei den ersten beiden Summanden extrahieren wir Faktoren, beim dritten vereinfachen wir die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenenten und den Exponenten des Radikanden durch dividieren, und beim letzten Glied rationalisieren wir, indem wir mit der Quadratwurzel aus multiplizieren und dividieren.

Da alle Wurzeln gleich sind, können wir die Koeffizienten zusammenfassen

1

Da die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben, multiplizieren wir die Radikanden und zerlegen sie in Faktoren, um die Faktoren der Wurzel zu extrahieren.

2

Wir zerlegen in Faktoren

Wir reduzieren auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten, weshalb wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten berechnen müssen, das dann der gemeinsame Wurzelexponente ist.

Wir dividieren den gemeinsamen Wurzelesponenten durch jeden der Wurzelexponenten . Das jeweilige Ergebnis multiplizieren wir mit den entsprechenden Exponenten .

Wir bilden das Produkt von Potenzen mit der gleichen Basis im Radikanden und extrahieren Faktoren aus dem Radikanden.

3

Wir berechnen das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten.

Wir berechnen:

1

Da die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben, dividieren wir die Radikanden und vereinfachen die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenten und den Exponenten der Wurzel durch dividieren

2

Zuerst reduzieren wir auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten. Wir müssen also also das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten berechnen, das dann der gemeinsame Wurzelexponent ist.

.

Wir dividieren den gemeinsamen Wurzelexponenten durch jeden der Wurzelexponenten und multiplizieren das jeweilige Ergebnis mit den entsprechnenden Exponenten .

Wir zerlegen die in Faktoren, so dass wir die Division von Potenzen mit der gleichen Basis durchführen können und dividieren:

3

Wir gehen genauso vor, wie im vorherigen Beispiel

Wir vereinfachen die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenten und den Exponenten der Wurzel durch dividieren und extrahieren schließlich die Faktoren

1

Wir quadrieren die Wurzel, zerlegen die in Faktoren und quadrieren sie. Zum Schluss extrahieren wir die Faktoren

2

Wir nehmen die Radikanden hoch 4, zerlegen die Radikanden in Faktoren und extrahieren die Zahl aus der Wurzel

Bei den Wurzeln führen die Rechenoperationen mit Potenzen durch und ermitteln einen gemeinsamen Wurzelexponenten, damit wir die Division durchführen können

Wir vereinfachen die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenten und die Exponenten des Radikanden durch dividieren, und dividieren Potenzen mit dem gleichen Exponenten

1

Eine Differenz zum Quadrat ist gleich dem Quadrat des 1. Glieds, minus zweimal das 1. Glied mal das 2. Glied, plus das 2. Glied zum Quadrat

2

3

Eine Summe mal Differenz ist gleich einer Differenz der Glieder zum Quadrat

4

1

Wir multiplizieren die Brüche. Im Nenner haben wir eine Summe mal eine Differenz, was gleich einer Differenz der Glieder zum Quadrat ist

2

Die Differenz der Glieder zum Quadrat im Nenner wird als Summe mal Differenz gebildet und der Bruch vereinfacht

1

Wir multiplizieren die Wurzelexponenten

2

Wir nehmen die erste mit in die Quadratwurzel. Deshalb müssen wir sie hoch 3 nehmen und multiplizieren die Potenzen mit der gleichen Basis. Wir führen diese Vorgehensweise fort, bis alle Werte unter der Wurzel stehen und wir multiplizieren können . Schließlich bleibt .

Wir multiplizieren die Potenzen mit der gleichen Basis.

Wir multiplizieren die Wurzelexponenten und vereinfachen, indem wir den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden durch 3 dividieren.

Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit der Wurzel aus , berechnen und vereinfachen den Bruch.

Den Radikanden schreiben wir als Potenz: .

Nun müssen wir den Zähler und den Nenner mit der 5. Wurzel aus multiplizieren.

Wir multiplizieren die Wurzeln des Nenners, extrahieren Faktoren und vereinfachen den Bruch.

3

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem Kehrwert des Nenners, lösen die Klammern im Zähler auf und addieren mit der Differenz im Nenner, so dass wir eine Differenz der Glieder zum Quadrat erhalten.

Im Nenner extrahieren wir die Radikanden und dividieren durch , das heißt, wir ändern das Vorzeichen des Zählers.

4

Wir multiplizieren und dividieren den Bruch durch den Kehrwert des Nenners.

Wir berechnen das Ergebnis aus Summe mal Differenz im Nenner und erhalten eine Differenz der Glieder zum Quadrat:

5

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem Kehrwert des Nenners, lösen die Klammer im Zähler auf und rechnen Summe mal Differenz. So erhalten wir eine Differenz der Glieder zum Quadrat.

Im Zähler zerlegen wir die in Faktoren und extrahieren die Faktoren. Im Anschluss führen wir die nötigen Rechenschritte im Nenner durch.

1

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit der Wurzel aus und führen die nötigen Rechenschritte durch

3

Wir multiplizieren und dividieren den Bruch mit dem Kehrwert des Nenners.

Im Zähler lösen wir die Klammer auf und im Nenner rechnen wir Summe mal Differenz, sodass wir eine Differenz erhalten.

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und vereinfachen den Bruch, indem wir die ausklammern

4

Wir multiplizieren und dividieren den Bruch durch den Kehrwert des Nenners

Wir lösen die Klammer im Zähler auf. Im Nenner rechnen wir Summe mal Differenz und erhalten daher eine Differenz

5

Wir multiplizieren und dividieren den Bruch durch den Kehrwert des Nenners

Wir schreiben den Zähler als Potenz

Im Zähler haben wir eine Differenz zum Quadrat, was gleich dem 1. Glied zum Quadrat minus das Doppelte des 1. Glieds mal das 2. Glied, plus das 2. Glied zum Quadrat ist. Im Nenner haben wir eine Summe mal eine Differenz, was gleich einer Differenz der Glieder zum Quadrat ist

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch und vereinfachen